Zakres egzaminu z dyscypliny Matematyka

  • Rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji całkowalnej z kwadratem (i charakter jego zbieżności).
  • Zależność między operatorami symetrycznymi i samosprzężonymi.
  • Twierdzenie Hahna-Banacha i przykłady zastosowań.
  • Definicja przestrzeni mierzalnej, σ-algebra Borela i konstrukcja miary Lebesgue’a (w Rn).
  • Twierdzenie Lebesgue’a o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem całki.
  • Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej. Równania Cauchy’ego-Riemanna.
  • Twierdzenie całkowe Cauchy’ego.
  • Rozwijalność funkcji w szereg Laurenta.
  • Definicje funkcji ciągłych w przestrzeniach topologicznych. Homeomorfizmy.
  • Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych. Topologia Tichonowa.
  • Definicja ciągu uogólnionego. Zbieżność w przestrzeni topologicznej.
  • Omówić reprezentację liczb na komputerze, arytmetykę zmiennopozycyjną w fl oraz wskaźnik uwarunkowania zadania obliczeniowego. Podać definicję numerycznej poprawności (formuła Kahana).
  • Interpolacja (Lagrange’a, Hermite’a) oraz aproksymacja (średniokwadratowa, jednostajna i tw. Czebyszewa o alternansie).
  • Kwadratury proste i złożone. Twierdzenie Gaussa o istnieniu kwadratury interpolacyjnej o maksymalnym rzędzie.
  • Twierdzenie Peano o istnieniu rozwiązań równań różniczkowych. Dodatkowo omówić ciąg łamanych Eulera oraz sposób wykorzystania twierdzenia Arzela-Ascoli’ego w dowodzie twierdzenia Peany.
  • Twierdzenie Picarda o istnieniu i jedyności rozwiązania równania różniczkowego z funkcją prawej strony spełniającą globalnie warunek Lipschitza. Dodatkowo omówić, w jaki sposób w dowodzie tego twierdzenie używa się twierdzenie Banacha o punkcie stałym. 
  • Aspekty algorytmiczne twierdzenie Königa i zastosowanie do problemu przydziału zadań.
  • Zastosowanie funkcji tworzących do równań rekurencyjnych na przykładzie ciągu Fibonacciego.
  • Konfiguracje kombinatoryczne - konstrukcje oraz zastosowanie w
    statystyce i sporcie.
  • Układy równań liniowych - twierdzenie Cramera, twierdzenie Kroneckera-Capellego i twierdzenie o układach niesprzecznych.
  • Potęgowanie macierzy - metoda diagonalizacji i diagonalizowalność macierzy.
  • Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej, tw. Sylwestera oraz zastosowanie do krzywych stożkowych.